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$x=\frac{4}{y-3}+2$
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@Valeria Hola Vale! Sí, es una forma equivalente de la misma inversa!
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@Isabella Hola Isa! Ahí desarrollé un poco más para que veas cómo hice ese pasaje
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@Julieta gracias profe! ya entendi, yo a lo primero lo hice asi, me dio distinta la inversa pero la raiz me dio igual y el dominio tambien puede ser?
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@Delfi Hola Delfi, ahí desarrollé las cuentas para puedas ver dónde está tu error☺️
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@Abigail Reemplazá cualquier valor en la x (por ej: x=1) y compará si te da el resultado que a mí. Eso sí eh, un valor que esté dentro del dominio de la función jaja ya veo que justo elegis el 2 y el denominador te va a dar cero y eso no existe jajaja. Pero haciendo eso podés saber si tu inversa está bien al compararla con la que obtengo yo ;)
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8. Sea $f(x)=\frac{4}{x-3}+2$. Hallar la función inversa $f^{-1}$ y dar el conjunto de positividad de $f^{-1}$.
Respuesta
Tenemos dos ejercicios en uno:
1. Hallar la función inversa $f^{-1}$
2. Análisis de funciones -> $C^{+}$
1. Hallemos la función inversa:
$f(x)= \frac{4}{x-3}+2$
$y= \frac{4}{x-3}+2$
$x-2=\frac{4}{y-3}$
$(x-2)(y-3)=4$
$y-3=\frac{4}{x-2}$
$y=\frac{4}{x-2}+3$
$f^{-1}\left(x\right)=\frac{4}{x-2}+3$
2. Hagamos el análisis de la función $f^{-1}$:
-> $C^{+}$ se obtiene mediante Bolzano, conocidos el dominio de la función (todos los reales) y el conjunto de ceros.
Dominio de $f^{-1}$:
$x-2 \neq0$
$x \neq 2$
$Domf^{-1}=\mathbb{R}-\left\{2\right\}$
Conjunto de ceros $C^{0}$:
$f^{-1}=0$
$\frac{4}{x-2}+3=0$
$\frac{4}{x-2}=-3$
$4=-3x+6$
$3x=2$
$x=\frac{2}{3}$
$C^{0} = \left\{\frac{2}{3}\right\}$
Hacemos Bolzano, analizando el signo de la función en los intervalos que se generan al dividir el dominio en los ceros de la función.
$Domf^{-1}=\mathbb{R}-\left\{2\right\}$
$C^{0} = \left\{\frac{2}{3}\right\}$
Nos quedan tres intervalos:
Intervalo 1: $(-\infty; \frac{2}{3})$
Intervalo 2: $(\frac{2}{3}; 2)$
Intervalo 3: $(2; +\infty)$
En $(-\infty, \dfrac{2}{3})$, tomamos por ejemplo $x = 0$:
$f^{-1}(0) = \dfrac{4}{0 - 2} + 3 = \dfrac{4}{-2} + 3 = -2 + 3 = 1$ -> $f^{-1} >0$ (positiva)
En $(\dfrac{2}{3}, 2)$, tomamos $x = 1$:
$f^{-1}(1) = \dfrac{4}{1 - 2} + 3 = \dfrac{4}{-1} + 3 = -4 + 3 = -1$ -> $f^{-1} <0$ (negativa)
En $(2, +\infty)$, tomamos $x = 3$:
$f^{-1}(3) = \dfrac{4}{3 - 2} + 3 = 4 + 3 = 7$ -> $f^{-1} >0$ (positiva)
$C^+$: $(-\infty, \dfrac{2}{3}) \cup (2, +\infty)$
$C^-$: $(\dfrac{2}{3}, 2)$
• $C^{+}=\left(-\infty;\frac{2}{3}\right)\cup\left(2;+\infty\right)$
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Comentarios
Valeria
24 de mayo 22:24
Hola Juli! Te subo una foto del ejercicio para que por favor me digas que hice mal al calcular la inversa que no me dio igual a vos, pero el resto del ejercicio si me dio igual. Gracias!
Julieta
PROFE
26 de mayo 19:49
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Isabella
15 de mayo 12:15
Hola profee, no entiendo porque pasa de x-2= 4/y-3 a y-3=4/x-2, no deberia ser x-2 y pasar lo que divide al 4 multiplicando para el otro lado? no entiendo porque lo hice y no me queda igual.
Julieta
PROFE
15 de mayo 17:06
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Isabella
15 de mayo 17:25
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Delfi
11 de mayo 21:19
Hola profe, el intervalo (-infinito, 2/3) me quedo negative por Bolzano. No se qué estoy haciendo mal. Elegi el valor 0 para remplazar X. No me deja adjuntar imagen pero lo estoy haciendo separando en terminos, tal cual lo haces en los videos
Julieta
PROFE
12 de mayo 13:50
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Abigail
26 de septiembre 16:51
profe antes de hacer la inversa la reduci a una sola fraccion y la inversa me quedo 3x-2/x-2, esta bien igualmente?
Julieta
PROFE
30 de septiembre 16:44
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